Las pruebas de fórmulas de Arquímedes para áreas y volúmenes establecen el estándar para el tratamiento riguroso de los límites hasta los tiempos modernos. Pero la forma en que descubrió estos resultados siguió siendo un misterio hasta 1906, cuando se descubrió una copia de su tratado perdido El Método en Constantinopla (ahora Estambul, Turquía).
Resultó que Arquímedes había utilizado un método conocido más tarde como el principio de Cavalieri, que consiste en cortar sólidos (cuyos volúmenes deben compararse) con una familia de planos paralelos. En particular, si cada plano de la familia corta dos sólidos en secciones transversales de igual área, entonces los dos sólidos deben tener el mismo volumen ( ver figura). Se puede pensar en el sólido como una suma de esas secciones, llamadas indivisibles. Arquímedes en realidad elaboró este principio, no solo comparando las secciones correspondientes en el área sino también "equilibrándolas" por la ley de la palanca.
La idea de cortar por planos paralelos fue redescubierta en China, y Liu Hui dio en el año 263 d.C. estas líneas fueron dadas por el matemático italiano Bonaventura Cavalieri en su Geometria Indivisibilibus Continuorum Nova Quadam Ratione Promota (1635; “Un cierto método para el desarrollo de una nueva geometría de indivisibles continuos”). Cavalieri observó lo que sucede cuando un hemisferio y su cilindro circunscrito son cortados por la familia de planos paralelos a la base del cilindro: cada sección en forma de disco de la esfera tiene la misma área que la sección anular correspondiente del complemento de un cono en el cilindro ( verfigura ). La fórmula para el volumen de la esfera se sigue inmediatamente del teorema de Eudoxo de que el volumen de un cono es un tercio del volumen de su cilindro que lo circunscribe.
