Metalogic , el estudio y análisis de la semántica (relaciones entre expresiones y significados) y sintaxis (relaciones entre expresiones) de lenguajes formales y sistemas formales. Está relacionado, pero no incluye, el tratamiento formal de los lenguajes naturales. (Para una discusión de la sintaxis y semántica de los lenguajes naturales, vea lingüística y semántica).
Naturaleza, orígenes e influencias de la metalógica
Sintaxis y semántica
Un lenguaje formal generalmente requiere un conjunto de reglas de formación, es decir, una especificación completa de los tipos de expresiones que contarán como fórmulas bien formadas (oraciones o expresiones significativas), aplicables mecánicamente, en el sentido de que una máquina podría verificar si un candidato satisface los requisitos. Esta especificación generalmente contiene tres partes: (1) una lista de símbolos primitivos (unidades básicas) dados mecánicamente, (2) ciertas combinaciones de estos símbolos, señalados mecánicamente como formando las oraciones simples (atómicas) y (3) un conjunto de oraciones inductivas: inductivas en la medida en que estipulan que las combinaciones naturales de oraciones dadas formadas por conectivos lógicos como la disyunción "o", que se simboliza "∨"; "No", simbolizado "∼"; y "para todos", simbolizado "(∀)", son nuevamente oraciones. [“(∀)” se llama cuantificador,como también "hay algunos", simbolizado "(∃)".] Dado que estas especificaciones se refieren sólo a los símbolos y sus combinaciones y no a los significados, sólo involucran la sintaxis del lenguaje.
Una interpretación de un lenguaje formal se determina formulando una interpretación de las oraciones atómicas del lenguaje con respecto a un dominio de objetos, es decir, estipulando qué objetos del dominio se denotan mediante qué constantes del lenguaje y qué relaciones y funciones son denotado por qué letras de predicado y símbolos de función. El valor de verdad (ya sea "verdadero" o "falso") de cada oración se determina así de acuerdo con la interpretación estándar de los conectivos lógicos. Por ejemplo, p · q es verdadero si y sólo si p y qson verdaderas. (Aquí, el punto significa la conjunción "y", no la operación de multiplicación "veces"). Así, dada cualquier interpretación de un lenguaje formal, se obtiene un concepto formal de verdad. La verdad, el significado y la denotación son conceptos semánticos.
Si, además, se introduce un sistema formal en un lenguaje formal, surgen ciertos conceptos sintácticos, a saber, axiomas, reglas de inferencia y teoremas. Algunas frases se señalan como axiomas. Estos son los teoremas (básicos). Cada regla de inferencia es una cláusula inductiva, que establece que, si ciertas oraciones son teoremas, entonces otra oración relacionada con ellas de manera adecuada también es un teorema. Si p y “no- p o q ” (∼ p ∨ q ) son teoremas, por ejemplo, entonces q es un teorema. En general, un teorema es un axioma o la conclusión de una regla de inferencia cuyas premisas son teoremas.
En 1931, Kurt Gödel hizo el descubrimiento fundamental de que, en la mayoría de los sistemas formales interesantes (o significativos), no todas las oraciones verdaderas son teoremas. De este hallazgo se deduce que la semántica no se puede reducir a la sintaxis; por tanto, la sintaxis, que está estrechamente relacionada con la teoría de la prueba, a menudo debe distinguirse de la semántica, que está estrechamente relacionada con la teoría de modelos. En términos generales, la sintaxis, tal como la concibe la filosofía de las matemáticas, es una rama de la teoría de números, y la semántica es una rama de la teoría de conjuntos, que se ocupa de la naturaleza y las relaciones de los agregados.
Históricamente, a medida que los sistemas lógicos y axiomáticos se volvieron cada vez más exactos, surgió, en respuesta a un deseo de mayor lucidez, una tendencia a prestar mayor atención a las características sintácticas de los lenguajes empleados en lugar de concentrarse exclusivamente en los significados intuitivos. De esta manera, la lógica, el método axiomático (como el empleado en geometría) y la semiótica (la ciencia general de los signos) convergieron hacia la metalógica.
El método axiomático
El sistema axiomático más conocido es el de Euclides para la geometría. De manera similar a la de Euclides, toda teoría científica implica un cuerpo de conceptos significativos y una colección de afirmaciones verdaderas o creídas. El significado de un concepto a menudo puede explicarse o definirse en términos de otros conceptos y, de manera similar, la verdad de una afirmación o la razón para creerla generalmente se puede aclarar indicando que puede deducirse de algunas otras afirmaciones ya aceptadas. El método axiomático procede en una secuencia de pasos, comenzando con un conjunto de conceptos y proposiciones primitivas y luego definiendo o deduciendo todos los demás conceptos y proposiciones en la teoría a partir de ellos.
La comprensión que surgió en el siglo XIX de que existen diferentes geometrías posibles llevó al deseo de separar las matemáticas abstractas de la intuición espacial; en consecuencia, se descubrieron muchos axiomas ocultos en la geometría de Euclides. Estos descubrimientos fueron organizados en un sistema axiomático más riguroso por David Hilbert en su Grundlagen der Geometrie (1899; The Foundations of Geometry ). En este y otros sistemas relacionados, sin embargo, las conexiones lógicas y sus propiedades se dan por sentado y permanecen implícitas. Si se considera que la lógica involucrada es la del cálculo de predicados, el lógico puede entonces llegar a sistemas formales como el discutido anteriormente.
Una vez que se obtienen tales sistemas formales, es posible transformar ciertos problemas semánticos en problemas sintácticos más agudos. Se ha afirmado, por ejemplo, que las geometrías no euclidianas deben ser sistemas autoconsistentes porque tienen modelos (o interpretaciones) en la geometría euclidiana, que a su vez tiene un modelo en la teoría de los números reales. Sin embargo, cabe preguntarse cómo se sabe que la teoría de los números reales es coherente en el sentido de que no puede derivarse ninguna contradicción en ella. Obviamente, el modelado solo puede establecer una consistencia relativa y debe detenerse en algún lugar. Habiendo llegado a un sistema formal (digamos, de números reales), sin embargo, el problema de consistencia tiene el foco más nítido de un problema sintáctico:el de considerar todas las pruebas posibles (como objetos sintácticos) y preguntar si alguna de ellas tiene (digamos) 0 = 1 como última oración.
Como otro ejemplo, se puede explorar la cuestión de si un sistema es categórico, es decir, si determina esencialmente una interpretación única en el sentido de que dos interpretaciones cualesquiera son isomórficas. Esta pregunta semántica puede ser reemplazada hasta cierto punto por una pregunta sintáctica relacionada, la de la completitud: si hay en el sistema alguna oración que tenga un valor de verdad definido en la interpretación pretendida de modo que ni esa oración ni su negación sean un teorema. Aunque ahora se sabe que los conceptos semántico y sintáctico son diferentes, ambos conceptos aclaran el vago requisito de que un sistema sea "adecuado". El estudio de cuestiones sintácticas tan agudas como las de consistencia e integridad, que fue enfatizado por Hilbert, fue llamado “metamatemática” (o “teoría de la prueba”) por él alrededor de 1920.
