Inconmensurables

Los geómetras que siguieron inmediatamente a Pitágoras (c. 580-c. 500 aC) compartieron la intuición errónea de que dos longitudes cualesquiera son "conmensurables" (es decir, medibles) por múltiplos enteros de alguna unidad común. Para decirlo de otra manera, creían que los números enteros (o contando) y sus proporciones (números racionales o fracciones) eran suficientes para describir cualquier cantidad. Por tanto, la geometría se acopló fácilmente a la creencia pitagórica, cuyo principio más importante era que la realidad es esencialmente matemática y se basa en números enteros. De especial relevancia fue la manipulación de ratios, que en un principio tuvo lugar de acuerdo con reglas confirmadas por la aritmética. El descubrimiento de los surds (las raíces cuadradas de los números que no son cuadrados), por lo tanto, socavó a los pitagóricos: ya no podría a : b =c : d (donde a y b , digamos, son primos relativos) implica que a = n c o b = n d , donde n es un número entero. Según la leyenda, el descubridor pitagórico de cantidades inconmensurables, ahora conocidas como números irracionales, fue asesinado por sus hermanos. Pero es difícil mantener un secreto en la ciencia.

Los antiguos griegos no tenían álgebra ni números arábigos hindúes. La geometría griega se basaba casi exclusivamente en un razonamiento lógico que involucraba diagramas abstractos. El descubrimiento de inconmensurables, por tanto, hizo más que perturbar la noción pitagórica del mundo; condujo a un impasse en el razonamiento matemático, un impasse que persistió hasta que los geómetras de la época de Platón introdujeron una definición de proporción (razón) que explicaba los inconmensurables. Los principales matemáticos implicados fueron el ateniense Theaetetus (c. 417-369 a. C.), a quien Platón dedicó todo un diálogo, y el gran Eudoxo de Cnido (c. 390-c. 340 a. C.), cuyo tratamiento de los inconmensurables sobrevive como Libro V de los elementos de Euclides .

Euclides dio la siguiente prueba simple. Un cuadrado con lados de longitud 1 unidad debe, según el teorema de Pitágoras, tener una diagonal d que satisfaga la ecuación d 2 = 12 + 12 = 2. Supongamos, de acuerdo con la expectativa pitagórica, que la diagonal puede ser expresado como el cociente de dos números enteros, por ejemplo p y q , y que p y q son primos entre sí, con p > q , en otras palabras, que la relación se ha reducido a su forma más simple. Entonces p 2 / q 2 = 2. Entonces p 2 = 2 q 2, entonces pdebe ser un número par, digamos 2 r . Inserción de 2 r para p en la última ecuación y simplificando, obtenemos q 2 = 2 r 2, de donde q también debe ser par, lo cual contradice la suposición de que p y q no tienen ningún factor común otra que la unidad. Por lo tanto, ninguna razón de números enteros, es decir, ningún "número racional" según la terminología griega, puede expresar la raíz cuadrada de 2. Longitudes tales que los cuadrados formados en ellos no sean iguales a números cuadrados (p. Ej., Raíz cuadrada de √ 2 , Raíz cuadrada de √ 3, Raíz cuadrada de √ 5, Raíz cuadrada de √ 6, ...) se denominaron "números irracionales".