Molino de viento de Euclides

El teorema de Pitágoras establece que la suma de los cuadrados de los catetos de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto); en notación algebraica familiar, a 2 + b 2 = c 2. Los babilonios y los egipcios habían encontrado algunos triples enteros ( a , b , c ) que satisfacían la relación. Pitágoras (c. 580-c. 500 a. C.) o uno de sus seguidores puede haber sido el primero en demostrar el teorema que lleva su nombre. Euclides (c. 300 a. C.) ofreció una inteligente demostración del teorema de Pitágoras en sus Elementos , conocida como la prueba del molino de viento por la forma de la figura.

Prueba del molino de viento de Euclides.

  1. Dibuje cuadrados de los lados de la derecha Δ A B C .
  2. B C H y A C K son líneas rectas porque ∠ A C B = 90 °.
  3. E A B = ∠ C A I = 90 °, por construcción.
  4. B A I = ∠ B A C + ∠ C A I = ∠ B A C + ∠ E A B = ∠ E A C , por 3.
  5. A C = A I y A B = A E , por construcción.
  6. Por lo tanto, Δ B A I ≅ Δ E A C , según el teorema del lado-ángulo-lado (ver Recuadro lateral: El puente de los culos), como se destaca en la parte (a) de la figura.
  7. Draw C F paralela a B D .
  8. Rectángulo A G F E = 2Δ A C E . Este notable resultado se deriva de dos teoremas preliminares: (a) las áreas de todos los triángulos en la misma base, cuyo tercer vértice se encuentra en cualquier lugar de una línea paralela a la base indefinidamente extendida, son iguales; y (b) el área de un triángulo es la mitad de la de cualquier paralelogramo (incluido cualquier rectángulo) con la misma base y altura.
  9. Cuadrar A I H C = 2Δ B A I , por el mismo teorema del paralelogramo que en el paso 8.
  10. Por lo tanto, rectángulo A G F E = cuadrado A I H C , por los pasos 6, 8 y 9.
  11. D B C = ∠ A B J , como en los pasos 3 y 4.
  12. B C = B J y B D = A B , por construcción como en el paso 5.
  13. Δ C B D ≅ Δ J B A , como en el paso 6 y resaltado en la parte (b) de la figura.
  14. Rectángulo B D F G = 2Δ C B D , como en el paso 8.
  15. Cuadrado C K J B = 2Δ J B A , como en el paso 9.
  16. Por lo tanto, rectángulo B D F G = cuadrado C K J B , como en el paso 10.
  17. Cuadrado A B D E = rectángulo A G F E + rectángulo B D F G , por construcción.
  18. Por lo tanto, el cuadrado A B D E = el cuadrado A I H C + el cuadrado C K J B , por los pasos 10 y 16.

El primer libro de los elementos de Euclidescomienza con la definición de un punto y termina con el teorema de Pitágoras y su inverso (si la suma de los cuadrados en dos lados de un triángulo es igual al cuadrado del tercer lado, debe ser un triángulo rectángulo). Este viaje de una definición particular a un enunciado matemático abstracto y universal se ha considerado emblemático del desarrollo de la vida civilizada. Un ejemplo sorprendente de la identificación del razonamiento de Euclides con la máxima expresión de pensamiento fue la propuesta hecha en 1821 por un físico y astrónomo alemán de iniciar una conversación con los habitantes de Marte mostrándoles nuestras pretensiones de madurez intelectual. Todo lo que teníamos que hacer para atraer su interés y aprobación, se afirmó, era arar y plantar grandes campos en la forma del diagrama del molino de viento o, como otros propusieron,cavar canales que sugieran el teorema de Pitágoras en Siberia o el Sahara, llenarlos de aceite, prenderles fuego y esperar una respuesta. El experimento no ha sido probado, dejando indeciso si los habitantes de Marte no tienen telescopio, geometría o existencia.